MATEMATIKA KELAS XI

MATEMATIKA

A. DIFERENSIAL / TURUNAN

PENGERTIAN

Turunan fungsi f(x) untuk tiap nilai x ditentukan dengan rumus :

              

RUMUS – RUMUS TURUNAN

1.   f(x) = k                                      maka     f′(x) = 0

2.   f(x) = ax                                    maka    f′(x) = a

3.   f(x) = ax ⁿ                                  maka     f′(x) = an x ^n-1

4.   f(x) = u(x) ± v(x)                      maka     f′(x) = u′(x) ± v′(x)

5.   f(x) = (u(x))ⁿ                             maka     f′(x) = n ( u(x) )^n-1 . u′(x)

6.   f(x) = u(x) . v(x)                       maka    f′(x) = u′(x).v(x) + u(x).v′(x)

7.                                 maka   

8.   f(x) = sin u                                maka     f ′(x) = cos u . u′

9.   f(x) = cos u                               maka    f′(x) = - sin u . u′

10. f(x) = tan u                                maka    f′(x) = sec ² u . u′

11. f(x) = cotan u                            maka    f′(x) = - cosec ² u . u′

12. f(x) = sec u                               maka    f′(x) = sec u . tan u . u′

13. f(x) = cosec u                            maka    f′(x) = - cosec u . cotan u . u′

14.                                   maka   

15.                                  maka    

16. f(x) = Ln u                                maka   

17.                              maka   

18.                                  maka   

Persamaan Garis Singgung Kurva

• Suatu titik    P(x₁,y₁)    terletak pada  kurva    y = f(x) ,     maka persamaan garis singgung yang melalui titik itu adalah          y – y₁ = m (x – x₁)  dengan   m = f′(x₁).
• Dua garis sejajar jika m₁ = m₂  dan saling tegak lurus jika m₁.m₂ = -1.

Fungsi naik dan fungsi turun

• Fungsi f(x) naik jika f′(x) > 0
• Fungsi f(x) turun jika f′(x) < 0
• Fungsi f(x) stasioner jika f′(x) = 0

Titik stasioner dan jenis stasioner

• Jika  f′(a) = 0  maka  x=a disebut pembuat stasioner,  f(a) disebut nilai stasioner dan (a , f(a)) disebut titik stasioner.
• (a , f(a)) disebut titik balik maksimum jika f′(a^-) > 0 , f′(a) = 0 , f′(a⁺) < 0  atau  jika f′(a) = 0  dan f′′(a) < 0.
• (a , f(a)) disebut titik balik minimum jika   f′(a^-) < 0 ,   f′(a) = 0 ,   f′(a⁺) > 0 atau jika f′(a) = 0  dan  f′′(a) > 0.
• (a , f(a))  disebut titik belok   jika   f′(a^-) > 0 , f′(a) = 0 , f′(a⁺) > 0    atau    f′(a^-) < 0 , f′(a) = 0 ,    f′(a⁺) < 0   atau  jika    f′(a) = 0  dan    f′′(a) = 0.

B.Grafik Sinus dan Cosinus

Untuk menggambar grafik fungsi sinus (y = sin t) dan cosinus  (y = cos t), dapat dilakukan dengan cara mengikuti standar baku pembuatan tabel nilai, merajah titik-titik yang bersesuaian,dan menghubungkannya menjadi kurva yang mulus. Penentuan nilai sinus dan cosinus dapat ditentukan dengan argumentasi geometri (perbandingan sisi dalam segitiga. Misalnya:

Pada segitiga sama kaki

Untuk cosinus:

Untuk sinus:

Dengan menggunakan hasil ini ,bersama dengan bilang yang dihasilkan dengan menggunakan kakulator ( dalam mode radaian), kita memperoleh:

dengan demikian sehingga diperoleh:

Dengan pengamatan sekilas dapat dilihat empat hal sebagai berikut:

1.       Kedua fungsi sin t dan cos t berkisar dari -1 sampai 1

2.       Kedua grafik berulang pada selang yang berdampingan sepanjang 2π=360

3.       Grafik  y= sin t simestris terhadap titik asal, y= cos t simestris terhadap sumbu y.(Maka, fungsi sinus adalah ganjil dan fungsi cosinus adalah genap.)

4.       Grafik y = sin t sama seperti  y = cos t, tetapi bergeser  π/2 satuan ke kanan